额`晕`倒`了`

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/22 17:54:15
已知函数f(x)对任意的x，y ∈R，总有f(x)+f(y)＝f(x+y），且x>0 时，
f(x)<0,f(1)=-2/3(负3分之2）
（1）求证f(x) 在R上是奇函数；
（2）求证f(x)在R上是减函数；
（3）求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值

0 0 ...

好难。。。

1.令x=y=0
则f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0
令y=-x
则f(x)+f(-x)=f(0)=0
即f(x)=-f(-x)
又定义域为R,关于原点对称
所以f(x) 在R上是奇函数

2.设x1<x2,则x2-x1>0
又x>0 时，f(x)<0
所以f(x2-x1)<0
所以f(x2)-f(x1)
=f((x2-x1)+x1)-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)
=f(x2-x1)<0
即f(x2)<f(x1)
所以f(x)在R上是减函数

3.f(2)=f(1)+f(1)
所以f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-2
又f(x) 在R上是奇函数
所以f(-3)=-f(3)=2
又f(x)在[-3，3]是减函数
所以
x=-3时,f(x)最大值为2,
x=3时,f(x)最小值为-2